Corbes i mates

Segons la Viquipèdia, “la corba de Bézier en matemàtica és una corba paramètrica que és important en gràfics d'ordinador i camps relacionats com Adobe Photoshop. Les generalitzacions de les corbes de Bézier a dimensions superiors s'anomenen Superfícies de Bézier de les quals el triangle de Bézier n'és un cas especial.”

 

Les funcions quadràtiques de Bezier, són “les que donen la funció B(t), donats els punts P0, P1, and P2,

 

 

Aquesta corba també és un segment parabòlic.”1 La digitalització de la pissarra de bàsquet amb el programa “Flash” comporta, com ja s’ha explicat, la plasmació gràfica de moviments de jugadors i/o de pilota que, sovint, descriuen trajectòries corbes com la següent:


Doncs bé, des d’un punt de vista matemàtic, la línia corba que surt del jugador 1 i va cap al jugador 3 és una línia d’una funció quadràtica de Bezier. En aquest apartat de la meva recerca, intentaré explicar la naturalesa d’aquestes línies corbes a partir de captures de pantalla del Geogebra (programa informàtic matemàtic).


- Tenint dos punts A i B fixos, situem un punt P aleatori alineat a A i B.


La posició de P respecte als punts A i B està representada gràficament a la línia negra de la part superior dreta de la imatge i amb el valor t= 0.58; aquest valor pot canviar-se, tot prement el punt i arrossegant-lo fins a situar P on es desitgi, tal com es pot apreciar en les imatges següents:




La fórmula que expressa el moviment del punt P depenent dels punts A i B és la següent:

 

 

Un cop vist el que succeeix amb 2 punts fixos, anem a provar-ho amb 3, és a dir, hi afegirem un punt C, no alineat amb els altres dos. Podem dir que el punt P es mourà segons una corba quadràtica de Bezier definida per A, B i C.

 

 

Perquè es vegi més clar, he ajuntat els punts A i C amb el punt B amb línies rectes negres, i he unit el punt P als punts A i C mitjançant una línea corba de color vermell.

La fórmula que expressa el moviment del punt P depenent dels punts A, B i C és la següent:

 

Podríem pensar que les corbes generades per l’”Adobe Flash” responen a aquesta fórmula, però, en realitat, no són tan simples, ja que la curvatura que il·lustra la primera imatge (la línia corba que surt del jugador 1 i va cap al jugador 3) és massa gran per a aquests paràmetres. Així, doncs, cal pensar en la influència d’un altre punt (D).


Per tant, he repetit el mateix procediment seguit en els casos en què es consideraven 2 i 3 punts fixos, però aquest cop amb 4 punts.

I, tal i com havia fet amb la funció de 3 punts, he unit els punts A i B, B i C, i C i D amb línies negres; també he unit el punt P els punts A i D mitjançant una línia vermella corba:

La funció de la corba és la següent: